P某的备忘录

激光原理与技术相关数学推导整理 (1)

激光原理与技术相关数学推导整理 (1)

封面图片 credit: From Military World

随着学期进入正轨,相关的东西也开始多了起来,至少本P在 blog 整理上花的时间就多了。这个系列是关于激光原理与技术的相关数学推导整理。当然了,随着学习的深入,这篇文章会滚动更新。由于这篇东西属于本P的个人整理,本P不会列出本P已经熟知或者掌握的地方。

0x00 受激辐射、受激吸收与自发辐射

自发辐射

定义:在没有外界作用条件下,处于高能级的电子自发跃迁到低能级辐射光子的过程,称为自发辐射

三个特点:

  • 无需外部入射光子作用
  • 产生的光子能量等于电子的能量损失
  • 自发辐射是一种随机过程。

爱因斯坦AA系数原始定义(dn21dt)sp=A21n2\left(\frac{d n_{21}}{d t}\right)_{s p}=A_{21} n_{2}

上式的物理含义是,单位时间、单位体积内电子从上能级跃迁到下能级的原子数等于自发辐射速率与高能级电子数密度乘积。下标sp_{sp}即是「自发」对应英文「spontaneous」之缩写。

将上式展开可以写为单位体积处于E2E_2能级的原子数密度减少数:

dn2=dn21=A21n2dtn2=n2(0)e(A21t)=n2(0)e(tτ)\begin{array}{c} d n_{2}=-d n_{21}=-\mathbf{A}_{21} \boldsymbol{n}_{2} \boldsymbol{d} \boldsymbol{t} \\ \boldsymbol{n}_{2}=\boldsymbol{n}_{2}(\boldsymbol{0}) \mathrm{e}^{\left(-\mathbf{A}_{21} t\right)}=\boldsymbol{n}_{2}(\mathbf{0}) \mathrm{e}^{\left(-\frac{\mathbf{t}}{\tau}\right)} \end{array}

解上述微分方程可知高能级电子数密度呈指数衰减,与实验现象相符。其中令 τ=1A21\tau = \frac{1}{A_{21}}为原子处于E2E_2能级的平均寿命,可知其只与原子本身性质有关,与辐射场无关

实例:普通光源(白炽灯、日光灯、高压水银灯)的发光过程为自发辐射。各原子自发辐射发出的光彼此独立频率、振动方向(偏振态)、相位不一定相同,为非相干光

受激吸收

定义:在外界入射光子作用下,处于低能级的电子跃迁到高能级吸收入射光子的过程称为受激吸收。

两个特点:

  • 需外部入射光子作用
  • 电子吸收的能量等于入射光子的能量

受激吸收系数W12W_{12}(dn12dt)st=W12n1\left(\frac{d n_{12}}{d t}\right)_{s t}=W_{12} \mathbf{n}_{1}

上式的物理含义是,单位时间、单位体积从下能级到上能级的原子数为受激吸收系数与低能级电子数密度之乘积。下标st_{st}即是「激发」对应英文「stimulated」之缩写。

其中受激吸收系数又可以拆开为:W12=B12ρvW_{12}=B_{12} \rho_{v}^{\prime},其中B12B_{12}爱因斯坦BB吸收系数,同样地只与原子本身性质有关,与辐射场无关,后面的ρv\rho_{v}^{\prime}辐射场能量密度

受激辐射

嘛……这个就是上一节反过来的东西,本P并不想同样的东西再写一次了,把主要的公式陈列于此:

受激辐射系数W21W_{21}(dn21dt)st=W21n2\left(\frac{d n_{21}}{d t}\right)_{s t}=W_{21} \mathbf{n}_{2}

W12=B12ρvW_{12}=B_{12} \rho_{v}^{\prime},其中B21B_{21}爱因斯坦BB辐射系数,同样地只与原子本身性质有关,与辐射场无关;同理,后面的ρv\rho_{v}^{\prime}辐射场能量密度

0x01 爱因斯坦关系推导

理论上来说这一节应该是和上一节并列的,为什么本P把它单独提出来呢?因为这是推导部分,也是相当重要的一部分。总而言之上面建立了三种关系,但是关于A,B21,B12A, B_{21}, B_{12}到底是个啥没有说清楚,本节就来推导称为爱因斯坦关系的玩意。

有了上面式子的基础,首先我们从公理出发,是哪一条呢?当然是守恒定律,在这里是高低能级原子数恒定,辐射场总光子数保持不变

(dn21dt)sp+(dn21dt)st=(dn12dt)stn2A21+n2B21ρ(v)=n1B12ρ(v)\begin{array}{l} \left(\frac{d n_{21}}{d t}\right)_{s p}+\left(\frac{d n_{21}}{d t}\right)_{s t}=\left(\frac{d n_{12}}{d t}\right)_{s t} \\ n_{2} A_{21}+n_{2} B_{21} \rho(v)=n_{1} B_{12} \rho(v) \end{array}

联立上式,有:

n2n1=B12ρ(v)A21+ρ(v)B21\frac{n_{2}}{n_{1}}=\frac{B_{12} \rho(v)}{A_{21}+\rho(v) B_{21}}

为什么要凑成比值形式呢,因为这些东西都是基于统计学规律计较的,这么做方便看出两个能级间粒子数密度的关系,也方便我们使用统计物理中的玻尔兹曼分布,玻尔兹曼分布是:

FB=1eϵμkTF_B=\frac{1}{\mathrm{e}^{\frac{\epsilon-\mu}{kT}}}

其含义是,当经典粒子系统处于热平衡时,能量为ϵ\epsilon的一个单粒子态被粒子占据的几率。
对于非定域粒子(显然大多数粒子都有非定域性),通常最关心的是单粒子能量在ϵ ϵ+dϵ\epsilon~\epsilon+\mathrm{d}\epsilon范围内的粒子数,亦即粒子按能量分布,记该范围内单粒子状态数(简并度,就是能级简并度)为:

Ω(ϵ)dϵ\Omega(\epsilon)\mathrm{d}\epsilon

显然,该区域的粒子数即有:

dN=FB(ϵ)Ω(ϵ)dϵ\mathrm{d}N = F_B(\epsilon)\Omega(\epsilon)\mathrm{d}\epsilon

按照上式,我们即可得出两能级之间电子数密度之比为:

n2n1=Ω2(ϵ)Ω1(ϵ)eE2E1KT\frac{\boldsymbol{n}_{2}}{\boldsymbol{n}_{1}}=\frac{\boldsymbol{\Omega}_{2}(\epsilon)}{\boldsymbol{\Omega}_{1}(\epsilon)} \boldsymbol{e}^{-\frac{E_{2}-\boldsymbol{E}_{1}}{\boldsymbol{K} T}}

联立两个比值表达式,我们即得辐射场能量密度表达式:

ρ(v)=A21B21(B12Ω1B21Ω2ehvKT1)1\rho(v)=\frac{A_{21}}{B_{21}}\left(\frac{B_{12} \Omega_{1}}{B_{21} \Omega_{2}} e^{\frac{h v}{K T}}-1\right)^{-1}

又由于该推导是类理想情况推导,那么我们可以拿黑体辐射表达式一用:

ρ(v)=8πhv3c3(ehvKT1)1\rho(v)=\frac{\mathbf{8} \pi h v^{3}}{c^{3}}\left(e^{\frac{h v}{K T}}-1\right)^{-1}

两式联立即有:

{A21B21=8πhv3c3=nνhvB12Ω1=B21Ω2\left\{\begin{array}{c} \frac{A_{21}}{B_{21}}=\frac{8 \pi h v^{3}}{c^{3}}=n_{\nu} h v \\ B_{12} \Omega_{1}=B_{21} \Omega_{2} \end{array}\right.

又由于Ω1(ϵ)=Ω2(ϵ)\Omega_{1}(\epsilon)=\Omega_{2}(\epsilon)的假设下(只是个假设,世纪要看简并度),于是我们得到了爱因斯坦关系:

B12=B21W12=W21A21=8πhv3c3B21\begin{array}{c} B_{12}=B_{21} \\ W_{12}=W_{21} \\ A_{21}=\frac{8 \pi h v^{3}}{c^{3}} B_{21} \end{array}

Q.E.D.

几个性质:

  • 爱因斯坦关系虽然是从黑体辐射推出,但适用于普适情况。
  • 受激辐射和受激吸收具有相同的跃迁速率。
  • 自发辐射和受激辐射具有相同的选择定则,自发辐射可以或不能发生,则受激辐射也可以或不能发生。
  • 自发辐射的出现随v3v^3而增大,故波长越短,自发辐射速率越大。
  • 热平衡状态下,高能级上原子数少于低能级上原子数,故受激吸收比受激辐射更频繁,其差额由自发辐射补偿。
  • 受激辐射和自发辐射不同于电磁场理论关于带电加速物体的辐射机制,是支配原子运动的另外一种物理规律。

0x02 激光振荡条件

光强的量子表达

首先,光强的定义是单位时间内,流过垂直于传播方向上单位面积平均能量,我们先摸一个式子出来:

I=EˉΔtSI =\frac{\bar{E}}{\Delta t\cdot S}

然后,基于光量子假设,我们要算的是这段时间内这个平面通过了多少光量子,而我们记光量子的数密度为nn,那么Δt\Delta t内的光子数量NN显然有:N=cSΔtnN=cS\Delta t\cdot n,如此多的光量子的能量即为E=NhγE=N\cdot h\gamma(光量子的能量假设就不重复了),当时间无限小,平均能量Eˉ\bar{E}就与瞬时能量EE相趋近,于是我们代回之前摸的式子:

I=EˉΔtS=NhγΔtS=cSΔtnhγΔtS=nchγ\begin{aligned} I =&\frac{\bar{E}}{\Delta t\cdot S} \\ =&\frac{N\cdot h\gamma}{\Delta t\cdot S}\\ =&\frac{cS\Delta t\cdot n\cdot h\gamma}{\Delta t\cdot S}\\ =&nch\gamma \end{aligned}

写完了。

顺带一提,光强的电磁波表达形式是I=12ηE02I=\frac{1}{2}\eta E_0^2

(小信号)增益系数

所谓(激光的)增益系数,这里定义为激光在发射腔内某点光强变化量与该点光强的比值

G(z)=dI(z)dzI(z)dI(z)dz=I(z)G(z)\begin{array}{l} G(z)=\frac{\frac{d I(z)}{d z}}{I(z)} \\ \frac{d I(z)}{d z}=I(z) G(z) \end{array}

换句话说,这个某点光强增加量就直接等于某点光强与增益系数的乘积。

想要发生激光的发射,那么显然要有受激辐射,则必定会有电子从高能级跃迁到低能级。而要想发生实质性的光发射,则必定要有受激辐射大于受激吸收,于是我们有净跃迁光子数密度:

dndt=n2W21n1W12=(n2n1)W21\frac{d n}{d t}= n_{2} W_{21}-n_{1} W_{12}= (n_{2}-n_{1}) W_{21}

以上同样是基于粒子的能级简并度一致推导,nn指净跃迁光子数密度。

然后显然地,光在腔内的传播速度显然有:dzdt=c\frac{dz}{dt}=c

结合之前推的光强量子化表达式,I(z)=n(t)chγI(z)=n(t)ch\gamma,于是我们集齐了推导增益系数的数学原料,我们结合链式法则于是有:

dI(z)dz=d[n(t)chγ]dz=chγd[n(t)]dtdtdz=chγ(n2n1)W211c\begin{aligned} \frac{dI(z)}{dz}=&\frac{d[n(t)ch\gamma]}{dz}\\ =&ch\gamma\frac{d[n(t)]}{dt}\cdot\frac{dt}{dz}\\ =&ch\gamma(n_{2}-n_{1}) W_{21}\cdot\frac{1}{c}\\ \end{aligned}

但这个式子并没有反映出增益系数的定义,于是我们「凑」了一个光强,即人为除多一个净光子数密度nn,并令Δn=n2n1\Delta n = n_2-n_1

dI(z)dz=d[n(t)chγ]dz=chγ(n2n1)W211c=nchγΔnW211cn=I(z)Δn(z)W21cn\begin{aligned} \frac{dI(z)}{dz}=&\frac{d[n(t)ch\gamma]}{dz}\\ =&ch\gamma(n_{2}-n_{1}) W_{21}\cdot\frac{1}{c}\\ =&\mathbf{n}\cdot \frac{ch\gamma \Delta n \cdot W_{21}\cdot\frac{1}{c}}{\mathbf{n}}\\ =&I(z)\Delta n(z) \cdot \frac{W_{21}}{cn}\\ \end{aligned}

于是我们通过对比就凑出来了增益系数G0G^0G0=Δn(z)W21cnG^0=\Delta n(z) \cdot \frac{W_{21}}{cn}

在光强很弱的情况下,Δn(z)\Delta n(z)zz无关,G0G^0是常数,称为小信号增益系数

从微分方程dI(z)dz=I(z)G(z)\frac{d I(z)}{d z}=I(z) G(z)中我们可以解出:

I(z)=IinezG0I(z)=I_in\mathrm{e}^{zG^0}

借用物理光学中光强与振幅的关系I=E02I=E_0^2,我们又记该光为沿zz轴方向传播的平面波,则人为增添了一个相位参数eikz\mathrm{e}^{-\mathrm{i}kz},于是乎激光的振幅传播方程我们有:

E(z)=E0ezG02eikz=E0ezG02ikz\begin{aligned} E(z)=&E_0\mathrm{e}^{\frac{zG^0}{2}}\cdot\mathrm{e}^{-\mathrm{i}kz}\\ =&E_0\mathrm{e}^{\frac{zG^0}{2}-\mathrm{i}kz}\\ \end{aligned}

激光振荡条件

在以上的工具集齐之后,我们终于可以推导激光振荡条件了。如图所示:

M1M_1M2M_2均为反射面,经过M1M_1的正入射反射系数为r1r_1,时间为t1t_1;经过M2M_2的正入射反射系数为r2r_2,时间为t2t_2。这么反复来回了几次显然就有了图中最底下的振幅表达式。需要注意的是,损耗系数是可以通过初始条件计算出来的常数,以及以下的例子中反射镜的反射系数相位均为 π\pi,亦即r=reiπ=r\vec{r}=|\mathbf{r}|\mathrm{e}^{i\pi}=|\mathbf{r}|

我们希望激光有增益地振荡,则这么两次反复之后显然应该要有:

E0t1r1r2e(G0α)lik2lE0t1\boldsymbol{E}_{\mathbf{0}} \boldsymbol{t}_{\mathbf{1}} \boldsymbol{r}_{\mathbf{1}} \boldsymbol{r}_{\mathbf{2}} \boldsymbol{e}^{\left(\boldsymbol{G}^{\mathbf{0}}-\alpha\right) l-i \boldsymbol{k} 2 l} \quad \geq \boldsymbol{E}_{\mathbf{0}} \boldsymbol{t}_{\mathbf{1}}

整理得:

r1r2e(G0α)l2ikl1r_{1} r_{2} e^{\left(G^{0}-\alpha\right) l-2 i k l} \geq 1

因此实部(振幅)、虚部(相位)应分别满足:

{G0αln(r1r2)l2kl=2πq(q=0,1,2,3,)\left\{\begin{array}{l} G^{0} \geq \alpha-\frac{\ln \left(r_{1} r_{2}\right)}{l} \\ 2 k l=2 \pi q \quad(q=0,1,2,3, \cdots \cdots) \end{array}\right.

G0G^0一式称做增益条件

明显的,激光振荡的频率条件有:

2kl=2πq22πλ=2πq22πcvq=2πqvq=c2nlq\begin{aligned} 2 k l=2 \pi q \\ 2 \frac{2 \pi}{\lambda} = 2 \pi q\\ 2 \frac{2 \pi}{\frac{c}{v_q}} = 2 \pi q\\ \\ v_{q}=\frac{c}{2 n l} q \end{aligned}

最后一式称为正反馈条件。且各个允许的频率之间的差值为:Δvq=c2nl\Delta v_{q}=\frac{c}{2 n l}


上述式子仅反弹一次即可推出。但我们知道谐振过程必不可能只反弹一次,又因为多光束反弹后为相长干涉,所以需要我们求出其级数之和。反弹了NN次之后,通过数学归纳法可以导出下式,我们一步步推导:

E=n=0E(n)=n=0E0r1nr2nt1t2e(2n+1)(G0α)l/2ikl)=E0t1t2n=0[r1r2e2(G0α)l/2ikl)]nr1r2e(G0α)l/2ikl)=E0t1t2r1r2e(G0α)l/2ikl)n=0[r1r2e2(G0α)l/2ikl)]n=E0t1t2e(G0α)l/2ikl1r1r2e(G0α)l2ikl\begin{aligned} E&=\sum_{n=0}^{\infty} E^{(n)}\\ =&\sum_{n=0}^{\infty} E_{0} r_{1}^{n} r_{2}^{n} t_{1} t_{2} e^{\left.(2 n+1)\left(G^{0}-\alpha\right) l / 2-i k l\right)}\\ =&E_{0}t_{1} t_{2} {\sum_{n=0}^{\infty} [r_{1} r_{2} e^{\left.2\left(G^{0}-\alpha\right) l / 2-i k l\right)}]^n}\cdot r_{1} r_{2} e^{\left.\left(G^{0}-\alpha\right) l / 2-i k l\right)}\\ =&E_{0}t_{1} t_{2} r_{1} r_{2} e^{\left.\left(G^{0}-\alpha\right) l / 2-i k l\right)} {\sum_{n=0}^{\infty} [r_{1} r_{2} e^{\left.2\left(G^{0}-\alpha\right) l / 2-i k l\right)}]^n}\\ =&E_{0} t_{1} t_{2} \frac{e^{\left(G^{0}-\alpha\right) l / 2-i k l}}{1-r_{1} r_{2} e^{\left(G^{0}-\alpha\right) l-2 i k l}} \end{aligned}

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